فلسفةُ الدوال

1 + 1 = [ ]

تلك كانت أول دالَّةٍ عرفتُها ، رغم أني لم أكن أعرف أنها تسمى دالة ، إلا أنها كانت الأولى .
في أواخر دراستي للمرحلة الثانوية ، بدأ عقلي ينظر للرياضيات بطريقةٍ مختلفة ، تلك المصطلحات التي إحتواها أعاد كتابتها و صياغتها ، و قام بربطها مع ما إكتسبتُه من مهارات و ثقافات ، فأصبحت أنظر إلى منهج الرياضيات على أنَّه تقليديٌ بعض الشيء ، إنتظرتُ بفارغ الصبر أن أنتقل إلى المرحلة الجامعية لأتعمق في هذا العلم الذي استهواني ، عكفتُ على تعلم الرياضيات ذاتيًا من خلال الإنترنت إلى أن تحين تلك اللحظة التي كنتُ أنتظرها ، شاهدتُ و قرأتُ العديد من المواقع و المقاطع التي تتناول مختلف مجالات الرياضيات ، رغم أنها مختلفةُ التخصص ، إلا أنه يجمعها تلك الفلسفة الرياضياتية ، ذلك المنطق و تلك البراهين وسَّعت لي مفهوم الرياضيات أكثر ، و رسَّخت ما لدي من مهارات .
أنا الآن في المرحلة الجامعية ، هناك رياضيات ، و لكنه ليس كالمتصوَّرِ عنه ، 3 ساعات أسبوعيا فقط ، إنها ليست ما كنتُ أبحث عنه ، ما زال في أعماقِ قلبي عشقٌ للرياضيات ، و ما زلتُ على نفس المنوال الذي كنتُ عليه .

بعد تلك المقدمة سأعودُ إلى ما أردتُ الكتابةَ عنهُ ، رغبتُ أن أنقل ما هو موجودٌ في تلافيفِ دماغي إلى من يستفيدُ منهُ ، سأكتب عن الدوال ، و سأحاول شرح فلسفتها كما أفهمها من الناحية الرياضياتية ، لعلَّ هناك من سيستفيدُ منها .

هل حقَّا 1 + 1 = [ ] هي دالة ؟

نعم ، إنها كذلك ؛ فكونُ أن لها ناتجًا رقْميًّا فهي دالة ، بالرغمِ أنها تبدوا و كأنها لا تملك متغيرا ( س ) أو ( x ) ، الحقيقة أنها تملك واحدًا و هو [ ] أو بالإمكان التعبير عنه بالحرف ص ( ص = [ ] ) ، نعم إنه متغير و كما هو مُوضَّح في التعريف في الأعلى فقيمته هي العدد 2 .
من الفقرة السابقة نستنتج أن الدالة من المفهوم الرياضياتي هي من إحتوت على هذه الثلاث :
1- تعريف ( 1 + 1 = ص ).
2- ناتج أو حل رقْمي ( 2 ).
3 – متغير ( ص ).

الدالة في الأعلى هي مثال على الدالة النقطية أي أن حلُّها يمثل بنقطة فقط ( كما في الصورة ) ، و السبب في كونها دالة نقطية هو إحتوائها على متغير واحد فقط ، و هو مستقل ، أي لن تتغير قيمته مهما حاولنا ، فقيمته حسب تعريف الدالة كانت ( ص = 1 + 1 ) ، أي أنها العدد 2 .

Wiki_number_line

هناك دوالٌ تحتوي على متغيرين ، و أحدهما يعتمد على الآخر في قيمته ، مثال :
ص = 2س + 1
نلاحظ هنا أن المتغير ص لا يحتوي على قيمةٍ ثابتة ، و إنما تتغير قيمته كلما تغيرت قيمة المتغير س ، لذلك كان من المستحيل إيجاد قيمةٍ ثابتة ( نقطة ) لحل تلك الدالة ، و إنما كان حلها بهذه الطريقة :
• إذا كانت قيمة س هي 0 ؛ فقيمة ص هي 1 .
• إذا كانت قيمة س هي 1 ؛ فقيمة ص هي 3 .
• إذا كانت قيمة س هي 2 ؛ فقيمة ص هي 5 .
و هكذا مع جميع الأعداد الحقيقية ، أي أننا نحتاج لوضع العديد و العديد من النقاط التي تمثل جميع القيم الممكنة للمتغير ص ، و كل نقطة ستوضح القيمة المفروضة للمتغير س عندها ، و بما أن عدد الأعداد لا نهائي فإننا سنضع عدد لا نهائي من النقاط ، و كما تعلمنا في الصفوف الأولية ( المستقيم هو عدد لا نهائي من النقاط ) ، هذا يعني أن الحل لتلك الدلة سيمثل بخطٍّ مستقيم أو منحنى فكلاهما عدد لا نهائي من النقاط ، لذلك فالدالة التي تحتوي على متغيرين تسمى دالة خطية .

graph_20151028_081141

ماذا لو إحتوت الدالة على 3 متغيرات ؟

ع = 4س – 2ص + 4
لا مشكلة ، فكما تعاملنا مع الدالة ذات المتغيرين ، فسنتعامل مع هذه الدالة بذات الطريقة ، الفرق هنا هو أن عباراتنا الإستنتاجية التي في الأعلى سنكررها مرارا و تكرارا مع كل قيمة ممكنة للمتغير ع ، مثلا :
إذ كانت قيمة ع هي صفر :
• عندها إذا كانت قيمة س هي 0 ؛ فقيمة ص هي 2
• و إذا كانت قيمة س هي 1 ؛ فقيمة ص هي 4
و هكذا كل الأعداد الممكنة للمتغير س ( جميع الأعداد الحقيقية ) ، و هذا يعني أن الحل سيكون أيضا عبارة عن خطٍّ مستقيم ( أو منحنى ) ، و لكن ماذا لو أن قيمة المتغير ع تغيرت قليلا و أصبحت 1 بدلا من صفر ، هذا سيعطينا نتائج جديدة ، و هذا يعني أيضا خطًّا جديدًا ، بما أن القيم المتاحة للمتغير ع هي لا نهائية ( أي جميع الأعداد الحقيقية) فهذا يعني أن حل تلك الدالة سيُمثَّل بعدد خطوط لا نهائية ، جميع تلك الخطوط ستمثل “مُستَوى” أو “مُسطَّح” ، هذه الصورة ستساعدك على تصور ذلك المستوى ( المستوى لا يمثل حل الدالة السابقة ، و إنما هو لتوضيح طريقة تمثيل المستويات بيانيا ).